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[教材] 【PDF】数学分析简明教程 [王昆扬 著] 2015年版 |
数学分析简明教程
作 者: 王昆扬 著 出版时间:2015 丛编项: 首都师范大学数学教学系列丛书 内容简介 第一章“实数的十进表示及运算”严格讲述初级 中学数学课本叙述的有理数、无理数和实数的概念。 严格讲述数列极限的概念。使用实数的十进表示,借 助极限概念,用“算数的方式”处理正数的“幂运算 ”。讲清楚高级中学课本中所说的指数函数。 第二章“函数”是中学数学对于函数概念的讨论 的深化。严格介绍和讨论函数的连续性等概念,顺带 给出了指数函数的解析方式的定义。同时介绍Rn的基 本拓扑概念。 第三章“微分学”从“Rm到Rn的映射”出发,严 格讲述导数概念。 第四章“积分学”系统讲解Lebesgue积分理论。 包括测度、可测函数、积分的定义和基本理论。其中 包括Rn上积分的变量替换法,并介绍线段上几乎连续 函数的积分的Riemann算法(经典的Riemann积分)、微 积分基本定理及以其为基础的积分算法。 第五章、第六章、第七章,这三章讲述积分学的 应用。 第五章讲两方面的问趱。一方面是如何计算Rn中 常见几何体的体积。另一方面的内容是一些常见的积 分以及积分的极限的计算,兼论及可积函数用光滑函 数近似的问题。 第六章讲述Rn中的k(1≤k 第七章讲述Rn中的一维流形(曲线)上的第二型积 分以及R3中的二维流形(曲面)上的第二型积分。作为 应用,给出了二维和三维情形的Brouwer不动点定理 的证明。 第八章“函数的级数展开”一方面讨论光滑函数 的Taylor级数,另一方面对于可积函数(当然是 Lebesgue可积函数)的Fourier展开做一个基本的介绍 。 可作为大学数学系一、二年级本科生教材。 目录 第一章 实数的十进表示及运算 l 比例数列的极限 1.1 比例数的本原表示 1.2 比例数列以及比例数列的极限 习题1.1 2 实数的十进表示的定义,比例数的十进表示 习题1.2. 3 R中的算术运算及大小次序 习题1.3. 4 正数的开方运算以及幂运算 4.1 开方运算 4.2 幂运算 4.3 幂函数和指数函数 习题1.4 5 实数列与实数集的一些性质,一些练习 习题1.5 6 非比例数比比例数多得多,基数的概念 习题1.6 第二章 函数 l 一元函数 习题2.1 2 再谈指数函数 习题2.2 3 n维Euclid空间Rn 3.1 Euclid空间 3.2 紧致性的概念 3.3 Rn中的开集的结构 习题2.3 4 多元函数 习题2.4 第三章 微分学 1 导数 1.1 方向导数、导数 1.2 一元情形 1.3 可导的充分条件及求导算律 1.4 高阶偏导数 1.5 导数的几何意义一一切线和切平面 习题3.1 2 Taylor公式和Taylor展开式 2.1.Taylor公式 2.2 一元初等函数的Taylor展开 2.3 函数的局部极值 习题3.2 3 可微变换 3.1 基本概念 习题3.3.1 3.2 可微变换的复合 习题3.3.2 3.3 逆变换 习题3.3.3 4 隐变换 4.1 特殊情形 4.2 一般情形 习题3.4 5 条件极值 习题3.5 6 几何应用 6.1 曲线 6.2 曲面 习颍3 6 7 原函数 习题3.7 第四章 积分学 l 测度 1.1 外测度 1.2 测度 1.3 Borel集是可测集 1.4 通过开集刻画可测集 1.5 不可测集 习题4.1 2 可测函数 2.1 基本概念 2.2 可测函数的结构 2.3 连续函数的延拓 习题4.2 3 积分的定义及基本理论 3.1 积分的定义及基本性质 3.2 积分号下取极限 3.3 把多重积分化为累次积分 3.4 积分的变量替换 习题4.3 4 几乎连续函数及其积分 习题4.4 5 微积分基本定理 5.1 基本定理 5.2 换元积分法 5.3 分部积分法 习题4.5 第五章 积分学的应用(一) l 常见几何体的测度 习题5.1 2 用积分解决几何的和物理的问题的例子 2.1一个体积公式 2.2 另一个体积公式 2.3 力做的功 2.4 功和能的联系 2.5 液体在竖直面上的压力、 习题5.2 3 积分号下取极限的定理应用于参变积分 3.1 参变积分的一般性质 3.2 具体的例 3.3 广义参变积分的积分号下取极限 3.4 几个判断广义参变积分一致收敛的例子 习题5.3 4 一类重要的参变积分一一Euler积分 习题5.4 5 可积函数用紧支撑光滑函数近似 习题5.5 第六章 积分学的应用(二)一一曲线和曲面上的第一型积分 1 Rn的子空间中的测度 1.1 Rn中平行2n面体的测度 1.2 Rn的七(k 6.2 Gauss公式是Green公式的推广。 6.3 Gauss积分 6.4 立体角及相关的积分 6.5 又一个Green公式 6.6 向量场的散度 习题7.6 7 Stokes公式 旋度 7.1 R3中的Stokes公式 7.2 旋度 习题7.7 第八章 函数的级数展开 l 收敛判别法 习题8.1 2 一致收敛 习题8.2 3 求和号下取极限 习题8.3 4 幂级数与Taylor展开 4.1 一般性讨论 习题8.4.1 4.2 函数的Taylor展开 习题8.4.2 5 三角级数与Fourier展开 5.1 三角级数 5.2 Fourier级数 5.3 Fourier部分和 5.4 局部化原理 5.5 一致收敛问题 5.6 Fejier和 5.7 涉及Fourier系数的定理 习题8.5 6 (选读)用代数多项式一致逼近连续函数 习题8.6 下载地址:
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